Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①如图1．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组，求抛物线解析式；
（2）①只需要AP∥BC即可满足题意，先求直线BC解析式，根据平行线的解析式一次项系数相等，设直线AP的解析式，将A点坐标代入可求直线AP的解析式，将抛物线与直线AP解析式联立，即可求P点坐标，再根据平移法求满足条件的另外两个P点坐标；
②延长CP交x轴于点Q，根据抛物线解析式可知△OBC为等腰直角三角形，利用角的关系证明∠OCA=∠OQC，可证Rt△AOC∽Rt△COQ，利用相似比求解．

解答：解：（1）由题意，得

a+b+c=0 c=-3 - b 2a =2

，解得

a=-1 b=4 c=-3

∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；

（2）①令-x²+4x-3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴B（3，0），
当点P在x轴上方时，如图1，
过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，
易求直线BC的解析式为y=x-3，
∴设直线AP的解析式为y=x+n，
∵直线AP过点A（1，0），代入求得n=-1．
∴直线AP的解析式为y=x-1
解方程组

y=x-1 y=-x2+4x-3

，得

x1=1 y1=0

，

x2=2 y2=1

，
∴点P₁（2，1）
当点P在x轴下方时，如图1：

设直线AP₁交y轴于点E（0，-1），
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P₂，P₃，
得直线P₂P₃的解析式为y=x-5，
解方程组

y=x-5 y=-x2+4x-3

，
得

x1= 3+ 17 2 y1= -7+ 17 2

，

x2= 3- 17 2 y2= -7- 17 2

，
∴P₂（

3+ 17

2

，

-7+ 17

2

），P₃（

3- 17

2

，

-7- 17

2

），
综上所述，点P的坐标为：P₁（2，1），P₂（

3+ 17

2

，

-7+ 17

2

），P₃（

3- 17

2

，

-7- 17

2

），

②∵B（3，0），C（0，-3）
∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°
设直线CP的解析式为y=kx-3
如图2，延长CP交x轴于点Q，
设∠OCA=α，则∠ACB=45°-α，
∵∠PCB=∠BCA，∴∠PCB=45°-α，
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α，
∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90°
∴Rt△AOC∽Rt△COQ
∴

OA

OC

=

OC

OQ

，∴

1

3

=

3

OQ

，
∴OQ=9，∴Q（9，0）
∵直线CP过点Q（9，0），∴9k-3=0
∴k=

1

3

∴直线CP的解析式为y=

1

3

x-3．
其它方法略．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线与x轴，y轴的交点，判断三角形的特殊性，利用平移，相似的知识解题．