Question

如图，四边形ABCD是矩形，AD=3，AB=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长为

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：过D作DF⊥AC于F，过E作EH⊥AC于H，根据矩形的性质得Rt△ABC≌Rt△CDA，再由折叠的性质得Rt△ABC≌Rt△AEC，则CE=CB=DA，CE与DA不平行，Rt△AEC≌Rt△CDA，得到∠1=∠2，易证∠1=∠4，于是有DE∥AC，即可判断四边形ACED是等腰梯形；由AB=4，AD=3，利用勾股定理得AC=5，再利用面积法计算出DF=EH=，然后根据勾股定理计算出AF=CH=，于是可得到DE的长．
解答：解：过D作DF⊥AC于F，过E作EH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA，
又∵矩形沿着直线AC折叠，使点B落在点E处，
∴Rt△ABC≌Rt△AEC，
∴△ADC≌△CEA，
∴CE=AD，
根据全等三角形的面积相等，得：DF=EH，
∵EH∥DF，
∴四边形DFHE是平行四边形，
∴DE∥AC，
∵AD=CE，
∴四边形DACE是等腰梯形，
S_△ADC=AD×DC=AC×DF，
∵AD=3，DC=4，由勾股定理得：AC=5，
∴DF==EH，
在△ADF中，由勾股定理得：AF=CH==，
∴DE=FH=5-2×=．
故选D．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰梯形的判定与性质和矩形的性质以及勾股定理．