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(2012•长沙)在长株潭建设两型社会的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为:y=
40-x(25≤x≤30)
25-0.5x(30<x≤35)

(年获利=年销售收入-生产成本-投资成本)
(1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件?
(2)求该公司第一年的年获利W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?
(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,请你确定此时销售单价的范围.
分析:(1)因为25<28<30,所以把x=28代入y=40-x即可求出该产品的年销售量为多少万件;
(2)由(1)中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入-生产成本-投资成本,得到w和x的二次函数关系,再有x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损,若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?
(3)由题目的条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式,再分别当w≥67.5,求出对应x的范围,结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围.
解答:解:(1)∵25<28<30,
y=
40-x(25≤x≤30)
25-0.5x(30<x≤35)

∴把x=28代入y=40-x得,
∴y=12(万件),
答:当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为12万件;

(2)①当 25≤x≤30时,W=(40-x)(x-20)-25-100=-x2+60x-925=-(x-30)2-25,
故当x=30时,W最大为-25,即公司最少亏损25万;
②当30<x≤35时,W=(25-0.5x)(x-20)-25-100
=-
1
2
x2+35x-625=-
1
2
(x-35)2-12.5
故当x=35时,W最大为-12.5,即公司最少亏损12.5万;
对比①,②得,投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万;
答:投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万;

(3)①当 25≤x≤30时,W=(40-x)(x-20-1)-12.5-10=-x2+61x-862.5≥67.5,
-x2+61x-862.5≥67.5,
化简得:x2-61x+930≤0 
解得:30≤x≤31,
当两年的总盈利不低于67.5万元时,x=30;
②当30<x≤35时,W=(25-0.5x)(x-20-1)-12.5-10=-
1
2
x2+35.5x-547.5≥67.5,
化简得:x2-71x+1230≤0 
解得:30≤x≤41,
当两年的总盈利不低于67.5万元时,30≤x≤35,
答:到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,此时销售单价的范围是30≤x≤35.
点评:本题主要考查二次函数在实际中应用,最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要弄懂题意,确定变量,建立函数模型解答,其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值.
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