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    如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，现有两点E、F，分别从点D、点A同时出发，点E沿线段DA以1个单位长度每秒的速度向点A运动，点F沿折线A-B-C以2个单位长度每秒的速度向点C运动．设点E离开点D的时间为t秒．
    （1）t=时，求证：△AEF为等腰直角三角形；
    （2）当t为何值时，线段EF与DC平行；
    （3）当1≤t＜2时，设EF与AC相交于点M，连接DM并延长交AB于点N，求的值．
    【答案】分析：（1）根据运动的过程求得AE、AF的长即可作出判断；
    （2）线段EF与DC平行，则F一定在边BC上，且DE=CF，即四边形EFCD为矩形，利用t表示出DE和CF，即可得到一个关于t的方程，从而求得；
    （3）易证△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
    解答：解：（1）t=时，
    DE=，AF=×2=，
    ∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
    ∴∠DAB=90°，AE=2-=，
    ∴AE=AF，
    ∴△AEF是等腰直角三角形．

    （2）四边形ABCD是边长为2的正方形，
    ∴AD=BC=2，
    当点F运动到边BC上且AE=BF时，
    则有DE=CF，
    ∴四边形EFCD为矩形，
    ∴EF∥CD，
    ∵AE=2-t，BF=2t-2，
    ∴2-t=2t-2，
    ∴t=，
    ∴t=时线段EF与DC平行．

    （3）由（2）知AE=2-t，
    ∵CF=4-2t，
    ∴==，
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AD∥BC，AB∥DC，
    ∴△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，
    ∴==，
    ∴==，
    ∴AN=AB，
    ∴=1．
    点评：本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质的综合应用，正确求得=2是关键．
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    （I）求证：AE=EF；
    （Ⅱ）若将条件中的“点E是BC的中点”改为“E是BC上任意一点”，其余条件不变，则结论AE=EF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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