Question

设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
（1）证明：PC=2AQ．
（2）当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．

Answer 1

分析：（1）延长DE，CB，相交于点R，作BM∥PC，交DR于点M．根据题意得∠AQE=∠EMB，可证得△AEQ≌△BEM，△AED≌△BER．则AD=BR=BC，再根据BM∥PC，证出RBM∽△RCP，即可得出PC=2AQ．
（2）作BN∥AF，交RD于点N，则△RBN∽△RFP．则

BN

PF

=

RB

RF

=

2

3

．还可证明△BNE≌△APE．根据相似三角形的性质得出S_△PFC=S_梯形APCQ．

解答：（1）证明：
证法一：延长DE，CB，相交于点R，作BM∥PC，交DR于点M．
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB
∵E是AB的中点，D、E、R三点共线，∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△BER．
∴AD=BR=BC．
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，相似比是1：2．
∴PC=2MB=2AQ．

证法二：连接AC，交PQ于点K，易证△AKE∽△CKD，
∴

AE

DC

=

AK

KC

=

1

2

．
∵AQ∥PC．
∴△AKQ∽△CKP．
∵

AK

KC

=

1

2

，
∴

AQ

PC

=

1

2

，
即PC=2AQ．

（2）解：S_△PFC=S_梯形APCQ．
作BN∥AF，交RD于点N．
∴△RBN∽△RFP．
∵△RBM∽△RCP，相似比是1：2，
∴RB：RC=1：2，即B为RC的中点，
∴RB=BC，又F是BC的中点，
∴RB=

2

3

RF．
∴

BN

PF

=

RB

RF

=

2

3

．
易证△BNE≌△APE．
∴AP=BN．
∴AP=

2

3

PF．
因PFC（视PC为底）与梯形APCQ的高的比等于△PFC与△PQC中PC边上的高的比，
易知等于PF与AP的比，于是可设△PFC中PC边上的高h₁=3k，梯形APCQ的高h₂=2k．再设AQ=a，则PC=2a．
∴S△PFC=

1

2

×2ah1=3ka，
S梯形APCQ=

1

2

(AQ+PC)h2=

1

2

(a+2a)•2k=3ka．
因此S_△PFC=S_梯形APCQ．

点评：本题是一道综合性很强的题目，考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形和梯形的性质，难度较大．