Question

13．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=-$\frac{1}{100}$x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w_内（元）（利润=销售额-成本-广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳$\frac{1}{100}$x² 元的附加费，设月利润为w_外（元）（利润=销售额-成本-附加费）．
（1）当x=1000时，y=140元/件，w_内=57500元；
（2）分别求出w_内，w_外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

Answer 1

分析 （1）将x=1000代入函数关系式求得y，根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”求得w_内；
（2）根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”，“利润=销售额-成本-附加费”列出两个函数关系式；
（3）对w_内函数的函数关系式求得最大值，再求出w_外的最大值并令二者相等求得a值；
（4）根据x=5000，即可求得w_内的值和w_外关于a的一次函数式，即可解题．

解答 解：（1）∵销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=-$\frac{1}{100}$x+150，
∴当x=1000时，y=-10+150=140，w_内=x（y-20）-62500=1000×120-62500=57500，
故答案为：140，57500．

（2）根据题意得出：
w_内=x（y-20）-62500=-$\frac{1}{100}$x²+130x-62500，
w_外=-$\frac{1}{100}$x²+（150-a）x．

（3）当x=-$\frac{130}{2×（-\frac{1}{100}）}$=6500时，w_内最大，
∵在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，
∴由题意得：$\frac{0-（150-a）^{2}}{4×（-\frac{1}{100}）}$=$\frac{4×（-\frac{1}{100}）×（-62500）-{130}^{2}}{4×（-\frac{1}{100}）}$，
解得a₁=30，a₂=270（不合题意，舍去）．
所以 a=30；
（3）当x=5000时，w_内=337500，
w_外=-5000a+500000，
若w_内＜w_外，则a＜32.5；
若w_内=w_外，则a=32.5；
若w_内＞w_外，则a＞32.5，
所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；
当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．

点评 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了一次函数的应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键．