Question

14．病人按规定的剂量服用某药物，测得服药后，每毫升血液中含药量y（毫克）与时间x（小时）满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按反比例函数图象衰减．如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血液中药物含量随时间变化的曲线．
（1）求函数y（毫克）与x（小时）之间的函数解析式；
（2）已知每毫升血液中含药量不低于0.5毫克时有治疗效果，低于0.5毫克时无治疗效果．求病人一次服药后的有效治疗时间为多少小时？

Answer 1

分析 （1）根据函数图象可以分别求得0≤x≤1和x＞1时对应的函数解析式，本题得以解决；
（2）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．

解答 解：（1）当0≤x≤1时，y与x成正比例，设为y=kx，
4=k×1，
解得，k=4，
∴y=4x，
当x＞1时，设y=$\frac{k}{x}$，
∴2=$\frac{k}{2}$，
∴k=4
∴y=$\frac{4}{x}$，
即函数y（毫克）与x（小时）之间的函数解析式是：y=$\left\{\begin{array}{l}{4x}&{0≤x≤1}\\{\frac{4}{x}}&{x＞1}\end{array}\right.$；
（2）∵当y≥$\frac{1}{2}$时，为有效治疗，
当0≤x≤1时，由4x≥$\frac{1}{2}$，解得$\frac{1}{8}$≤x≤1；
当x＞1时，$\frac{4}{x}$≥$\frac{1}{2}$，解得1＜x≤4．
∵4-$\frac{1}{8}$=$\frac{31}{8}$．
∴当$\frac{1}{8}$≤x≤4时，有治疗效果．
即有效治疗时间为$\frac{31}{8}$小时．

点评 本题考查反比例函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．