Question

已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，则此正方形的边长为________．

Answer 1

2
分析：设E到A点，B点，C点的距离之和的最小值为．以B为旋转中心，把△AEB按逆时针方向旋转60°，得△FGB，连CF，
根据旋转的性质得△BEG是正三角形，则BE=GE，得到AE+EB+CE=FG+GE+EC≥FC，当且仅当取等号时，AE+BE+CE最小，所以
FC=+；设正方形的边长为2x，过F作FG⊥BC于G点，则FG=x，BG=x，则CG=（2+）x，在Rt△FGC中，利用勾股定理即可得到x的值，则正方形的边长即可得到．
解答：解：如图，设E到A点，B点，C点的距离之和的最小值为．
以B为旋转中心，把△AEB按逆时针方向旋转60°，得△FGB，连CF，
∴△BEG是正三角形，
∴BE=GE，
∴AE+EB+CE=FG+GE+EC≥FC，当且仅当取等号时，AE+BE+CE最小，
∴FC=+，
设正方形的边长为2x，过F作FG⊥BC于G点，如图，
∵∠ABF=60°，
∴∠FBG=30°，
∴FG=x，BG=x，则CG=（2+）x，
在Rt△FG′C中，FC²=FG²+GC²，即（+）²=x²+[（2+）x]²，
解得x=1，
∴正方形的边长为2x=2．
故答案为2．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及勾股定理．