Question

在△ABC中，AB=，AC=，BC=1．
（1）求证：∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．

Answer 1

证明：（1）∵BC²+AC²=1+2=3=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
∵，
∴∠A≠30°．

（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，
∴圆锥的底面圆的半径=，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•=2π；母线长为，
∴几何体的表面积π+π×（）²=π+2π．
分析：（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，利用三角函数计算出sinA，然后与sin30°进行比较即可判断∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为AC，母线长为AB，所得几何体的表面积分为底面积和侧面积，分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算即可．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，它的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为母线长，圆锥的侧面积=扇形的面积=l•R（l为弧长，R为扇形的半径）；也考查了勾股定理的逆定理以及特殊角的三角函数值．