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(2013•镇江)【阅读】
如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(a,0)(a>0),B(2,3),C(0,3).过原点O作直线l,使它经过第一、三象限,直线l与y轴的正半轴所成角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处,我们把这个操作过程记为FZ[θ,a].
【理解】
若点D与点A重合,则这个操作过程为FZ[
45°
45°
3
3
];
【尝试】
(1)若点D恰为AB的中点(如图2),求θ;
(2)经过FZ[45°,a]操作,点B落在点E处,若点E在四边形0ABC的边AB上,求出a的值;若点E落在四边形0ABC的外部,直接写出a的取值范围;
【探究】
经过FZ[θ,a]操作后,作直线CD交x轴于点G,交直线AB于点H,使得△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形,直接写出FZ[θ,a].
分析:【理解】
由折叠性质可以直接得出.
【尝试】
(1)如答图1所示,若点D恰为AB的中点,连接CD并延长交x轴于点F.证明△BCD≌△AFD,进而得到△OCD为等边三角形,则θ=30°;
(2)如答图2所示,若点E在四边形0ABC的边AB上,则△ADE为等腰直角三角形,由此求出a=OA=OD+OA=5;由答图2进一步得到,当0<a<5时,点E落在四边形0ABC的外部.
【探究】
满足条件的图形有两种,如答图3、答图4所示,
解答:解:【理解】
若点D与点A重合,由折叠性质可知,OA=OC=3,θ=
1
2
∠AOC=45°,
∴FZ[45°,3].

【尝试】
(1)如答图1所示,连接CD并延长,交x轴于点F.

在△BCD与△AFD中,
∠BDC=∠ADF
BD=AD
∠CBD=∠FAD

∴△BCD≌△AFD(ASA).
∴CD=FD,即点D为Rt△COF斜边CF的中点,
∴OD=
1
2
CF=CD.
又由折叠可知,OD=OC,
∴OD=OC=CD,
∴△OCD为等边三角形,∠COD=60°,
∴θ=
1
2
∠COD=30°;
(2)经过FZ[45°,a]操作,点B落在点E处,则点D落在x轴上,AB⊥直线l,
如答图2所示:

若点E在四边形0ABC的边AB上,
由折叠可知,OD=OC=3,DE=BC=2.
∵AB⊥直线l,θ=45°,
∴△ADE为等腰直角三角形,
∴AD=DE=2,
∴OA=OD+AD=3+2=5,
∴a=5;
由答图2可知,当0<a<5时,点E落在四边形0ABC的外部.

【探究】
FZ[30°,2+
3
],FZ[60°,2+3
3
].
如答图3、答图4所示.
点评:本题是几何变换综合题型,考查了翻折(折叠)变换、全等三角形、相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识点,有一定的难度.解题关键是正确理解题目给出的变换的定义,并能正确运用折叠的性质.第(3)问中,有两种情形符合条件,需要分别计算,避免漏解.
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