Question

观察本题的三个图形，思考下列问题
（1）如图1，正方形ABCD中，点M是CD上异于端点的任意一点，过点C作CN⊥BM于O，且交AD于N点．求证：BM=CN；
（2）如图2，等边△ABC中，点M是CA上异于端点的任意一点，过点C作射线CN交AB于点N、交BM于点O，且使∠BOC=120°．
请你判断此时BM与CN的大小关系，并证明你的结论．
（3）如图3，正n边形ABCDE…A_n中，点M是CD上异于端点的任意一点，过点C作射线CN交DE于点N、交BM于点O，且使BM=CN．设此时∠BOC的大小为y，请你写出y与n之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据题意，推出△BCM≌△CDN，即可；
（2）BM=CN，根据题意推出∠A=∠BCM=60°，∠ACN=∠CBM，可得△BCM≌△CAN，即可推出结论；
（3）根据题意推出△BCM≌△CDN，即得∠OCD=∠CBO，由∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=180°-∠BCD，即可推出y=

360°

n

．

解答：解：（1）∵正方形ABCD，CN⊥BM，
∴CD=BC，∠MBC=∠NCD，
∴△BCM≌△CDN，
∴BM=CN；

（2）∵等边△ABC，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
∵∠BOC=120°，
∴∠ACN=∠CBM，
∴△BCM≌△CAN，
∴BM=CN；

（3）∵正n边形ABCDE…A_n中，
∴∠BCM=∠CDN，
∵BM=CN，BC=CD，
∴△BCM≌△CDN，
∴∠OCD=∠CBO，
∴∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=180°-∠BCD，
∴∠BOC=180°-

180°(n-2)

n

，
∴y=

360°

n

．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、正多边形的性质、关键在于求证相关三角形全等．