Question

（2012•肇庆）已知二次函数y=mx²+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO-tan∠CBO=1．
（1）求证：n+4m=0；
（2）求m、n的值；
（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式x=-

b

2a

，易证n+4m=0；
（2）本问利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组，不能遗漏；
（3）本问利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值．

解答：（1）证明：∵二次函数y=mx²+nx+p图象的顶点横坐标是2，
∴抛物线的对称轴为x=2，
即-

n

2m

=2，
化简得：n+4m=0．

（2）解：∵二次函数y=mx²+nx+p与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，
∴OA=-x₁，OB=x₂；x₁+x₂=-

n

m

，x₁•x₂=

p

m

；
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|．
由三角函数定义得：tan∠CAO=

OC

OA

=

|p|

-x1

=-

|p|

x1

，tan∠CBO=

OC

OB

=

|p|

x2

．
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即-

|p|

x1

-

|p|

x2

=1，
化简得：

x1+x2

x1x2

=-

1

|P|

，
将x₁+x₂=-

n

m

，x₁•x₂=

p

m

代入得：

- n m

p m

=-

1

|P|

，
化简得：n=

p

|p|

=±1．
由（1）知n+4m=0，
∴当n=1时，m=-

1

4

；当n=-1时，m=

1

4

．
∴m、n的值为：m=

1

4

，n=-1（此时抛物线开口向上）或m=-

1

4

，n=1（此时抛物线开口向下）．

（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1，m=-

1

4

，
∴抛物线解析式为：y=-

1

4

x²+x+p．
联立抛物线y=-

1

4

x²+x+p与直线y=x+3解析式得到：-

1

4

x²+x+p=x+3，
化简得：x²-4（p-3）=0 ①．
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，
∴一元二次方程①的判别式等于0，即△=0²+16（p-3）=0，解得p=3．
∴抛物线解析式为：y=-

1

4

x²+x+p=y=-

1

4

x²+x+3=-

1

4

（x-2）²+4，
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4．
∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4．

点评：本题要求同学们熟练掌握二次函数的性质，包括抛物线的解析式、对称轴公式、抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系、二次函数的最值等重要知识点．作为中考压轴题，本题难度适中，相信多数同学能够顺利解决；难点在于由于题中未明确抛物线的开口方向，导致部分同学感觉难以下手，或者盲目求解，只得到m、n的一组解（第2问），从而导致失分．