Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，交⊙O于点F，且
（1）试判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（2）若，AE=4，求∠BCD的正切值．

Answer 1

（1）DE是⊙O的切线
证明：连接OC（如图）
∵，∴∠1=∠2
∵⊙O是△ABC的外接圆
∴点C在圆上
∴OC=OA
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴OC∥AE
∵AE⊥DE，∴∠AED=90°
∴∠OCD=90°
∴OC⊥DC，即OC⊥DE
∴DE是⊙O的切线

（2）解：在△ADE中，由（1）知OC∥AE
∴
设OC=t
∵
∴
整理，得6t²-7t-20=0
解得
经检验t₁，t₂均为原方程的解，由于线段长为非负，故舍去负值．
得
∴AB=5
∵DC切⊙O于点C，DBA是⊙O的割线
∴
∴
∵∠BCD=∠2，∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA
∴
由已知AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，∴
∴
分析：（1）DE是⊙O的切线，连接OC，根据题意得∠1=∠2，∠3=∠2，则∠3=∠1，从而得出OC∥AE，根据AE⊥DE得出OC⊥DE，则DE是⊙O的切线；
（2）由OC∥AE，得，设OC=t，代入即可得出t的值，即可求出CO，AB，再由切割线定理得出CD，则可证明△DBC∽△DCA，得出比例式BC：AC，根据∠BCD=∠2
即可得出∠BCD的正切值．
点评：本题是一道综合题目，考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例，解直角三角形，是中考压轴题．