Question

11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD和AB相交于P，且∠APC=45°，OQ是弦CD的弦心距．
（1）求证：PC-PD=2OQ．
（2）若⊙O的半径为5cm，求PC²+PD²的值．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得到CQ=DQ，OQ⊥CD，再根据线段的和差即可求出结果；
（2）作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，通过三角形全等得到ON=CM=PM，OM=ND=PN，由勾股定理即可求出结果．

解答 （1）证明：∵OQ是弦CD的弦心距，
∴CQ=DQ，OQ⊥CD，
∵∠APC=45°，
∴∠QOP=45°，
∴OQ=OP，
∴PQ=PC-CQ=PC-DQ=PC-PQ-PD，
∴PC-PD=2PQ=2OQ；

（2）解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，
∴∠NDP=∠MCP=∠APC=45°
又∵OC=OD，
∴∠ODP=∠OCP，
∴∠NDO=∠COM，
在Rt△ODN与Rt△COM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OMC=∠OND=90°}\\{∠COM=∠NDO}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODN≌Rt△COM，
∴ON=CM=PM，OM=ND=PN
又∵OC²=CM²+OM²，OD²=DN²+ON²
∴OC²=CM²+PN²，OD²=DN²+PM²
∴OC²+OD²=CM²+PN²+DN²+PM²=PC²+PD²，
∴PC²+PD²=2×5²=50．

点评 本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理正确的作出辅助线是解题的关键．