Question

如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交⊙O于点B，且AC⊥DE，垂足为F，连接AD、BE，若，∠BED=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）△DCE是否是等边三角形？请说明理由；
（3）若⊙O的半径R=2，试求CE的长．

Answer 1

解：（1）连接OD．
∵∠BED=30°，∴∠AOD=60°，
∵
∴∠A=30°
∴∠A+∠AOD=90°
∴∠ADO=90°
∴AD是⊙O的切线．

（2）△DCE是等边三角形．理由如下：
∵BC为⊙O的直径且AC⊥DE．
∴．∴CE=CD．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC=90°，
∵∠BED=30°，
∴∠DEC=60°，
∴△DCE是等边三角形．

（3）∵⊙O的半径R=2．
∴直径BC=4
∵△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=60°
∴∠EBC=60°
在Rt△BEC中，，
∴CE=BCsin60°==．
分析：（1）连接OD．根据题意可求出∠AOD，∠A，从而得出∠ADO=90°，则AD是⊙O的切线；
（2）先得结论△DCE是等边三角形，由题意得CE=CD，再由BC是⊙O的直径，则∠BEC=90°，从而求得∠DEC=60°，则△DCE是等边三角形．
（3）由题意可求得BC，即可得出∠BEC，在Rt△BEC中，由三角函数求出CE的长．
点评：本题考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及解直角三角形．