Question

（2012•本溪二模）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当cosE=

4

5

，BF=6时，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接BD、OD，根据AB为直径得出∠ADB=90°，根据等腰三角形性质求出AD=CD，根据三角形的中位线推出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据已知求出EF、BE，根据平行线推出△EFB∽△EDO，推出比例式

BF

OD

=

BE

OE

，设半径为x，代入求出x即可．

解答：（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD，
又∵点D在⊙O上，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）解：∵DF⊥BC，cosE=

4

5

，BF=6，
∴可得EF=8，BE=10，
∵OD∥BC，
∴△EFB∽△EDO，
∴

BF

OD

=

BE

OE

，
设半径为x，则

6

x

=

10

10+x

，
解得：x=15，
∴⊙O直径为30．

点评：本题考查的知识点有等腰三角形的性质，三角形的中位线，切线的判定，相似三角形的性质和判定，解（1）小题关键是求出OD⊥DE，解（2）小题的关键是得出关于x的方程，用了方程思想．