Question

（2012•白下区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3cm，DC=15cm，BC=24cm．点P从A点出发，沿A→D→C方向以1cm/s的速度匀速运动，同时点Q从C点出发，沿C→B方向以2cm/s的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，△APQ的面积最大，最大值是多少？
（3）△APQ能成为直角三角形吗？如果能，直接写出t的值；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分点P在线段AD上和点P在线段CD上两种情况列出关系式即可；
（2）根据得到的抛物线的开口向上，对称轴的右侧s随t的增大而增大可以得到最大值；
（3）分点P在线段AD上和点P在线段DC上利用相似三角形的对应边的比相等即可列出方程求得t值．

解答：解：（1）当点P在线段AD上时，
∵AP=tcm，AP边上的高为DC的长，为15cm，
∴S=

1

2

AP•DC=

1

2

×t×15=

15t

2

（0≤t≤3）；
当点P在线段CD上时，如图1，
PD=（t-3）cm，DC=15-（t-3）=（18-t）cm，CQ=2tcm，
∴S=S_梯形ADCQ-S_△ADP-S_△PQC=

1

2

[（AD+CQ）•DC-AD•DP-PC•CQ]
=

1

2

[（3+2t）×15-3×（t-3）-（18-t）×2t]
=t²-

9

2

t+27（3≤t≤12）

（2）∵S=t²-

9

2

t+27的图象开口向上，对称轴为t=

9

4

，
∴当

9

4

＜t≤12时s随t的增大而增加，
∴当t=12时取得最大值，
最大值为：s=12²-

9

2

×12+27=117cm²

（3）当点p在AD上QP⊥AD时，如图2，作AE⊥BC于E点，则AP=tcm，CQ=2tcm，
EQ=3-2t，
此时AP=EQ，即t=3-2t，
解得t=1；
当点P在线段DC上时，如图3，
若∠APQ=90°，
∴∠APD+∠QPC=90°
∴∠APD=∠PQC
∴△APD∽△PQC
∴

AD

PC

=

DP

CQ

即：

3

18-t

=

t-3

2t

解得：t=9或t=6；
∴当t=1或t=9时△APQ能成为直角三角形．
若∠PAQ=90°，如图4：

此时PC=CD-PD=15-（t-3）=18-t，CQ=2t，
则AQ²=（2t-3）²+15²，AP²=3²+（t-3）²，PQ²=（2t）²+（18-t）²，
利用勾股定理可得：AQ²+AP²=PQ²，
即（2t-3）²+15²+3²+（t-3）²=（2t）²+（18-t）²，
解得：t=4；
综上可得当t=1、4、6、9时△APQ是直角三角形．

点评：本题考查了相似形的综合知识，题目中用二次函数知识解决几何图形中面积最大问题和动点问题是中考的热点考题，需重点掌握．