Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若sin∠ABC=

4

5

，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可．
（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值．

解答：（1）证明：连接OD；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°；
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AF，
∴∠ODE=∠AFD=90°，
即OD⊥EF；
又∵EF过点D，
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：连接BD，CD；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠AFD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴BD=CD；
设BD=CD=a；
又∵EF是⊙O的切线，
∴∠CDF=∠DAC，
∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，
∴△CDF∽△ABD∽△ADF，
∴

CF

CD

=

BD

AB

CF

DF

=

DF

AF

；
∵sin∠ABC=

AC

AB

=

4

5

，
∴设AC=4x，AB=5x，
∴

1

a

=

a

5x

a²=5x，
∴在Rt△CDF中DF²=CD²-CF²=5x-1；
又∵

CF

DF

=

DF

AF

，
∴5x-1=1×（1+4x），
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=4x=8；
∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∴

AB

AE

=

AC

AF

，

10

AE

=

8

9

，AE=

45

4

，
∴在Rt△AEF中，EF=

AE2-AF2

=

( 45 4 )2-92

=

27

4

．

点评：本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．