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(2012•衢州)课本中,把长与宽之比为
2
的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题:
(1)将一张标准纸ABCD(AB<BC)对开,如图1所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明.
(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC)进行如下操作:
第一步:沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上点F处,折痕为AE(如图2甲);
第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上点N处,折痕为DG(如图2乙),此时E点恰好落在AE边上的点M处;
第三步:沿直线DM折叠(如图2丙),此时点G恰好与N点重合.
请你探究:矩形纸片ABCD是否是一张标准纸?请说明理由.
(3)不难发现:将一张标准纸按如图3一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=
2
,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.
分析:(1)根据
AB
AF
=
AB
1
2
BC
=2•
AB
BC
=
2
2
=
2
,得出矩形纸片ABEF也是标准纸;
(2)利用已知得出△ADG是等腰直角三角形,得出
AD
AB
=
2
a
a
=
2
,即可得出答案;
(3)分别求出每一次对折后的周长,进而得出变化规律求出即可.
解答:解:(1)是标准纸,
理由如下:
∵矩形纸片ABCD是标准纸,
BC
AB
=
2

由对开的含义知:AF=
1
2
BC,
AB
AF
=
AB
1
2
BC
=2•
AB
BC
=
2
2
=
2

∴矩形纸片ABEF也是标准纸.

(2)是标准纸,理由如下:
设AB=CD=a,由图形折叠可知:DN=CD=DG=a,
DG⊥EM,
∵由图形折叠可知:△ABE≌△AFE,
∴∠DAE=
1
2
∠BAD=45°,
∴△ADG是等腰直角三角形,
∴在Rt△ADG中,AD=
AG2+DG2
=
2
a,
AD
AB
=
2
a
a
=
2

∴矩形纸片ABCD是一张标准纸;

(3)
对开次数:
第一次,周长为:2(1+
1
2
2
)=2+
2

第二次,周长为:2(
1
2
+
1
2
2
)=1+
2

第三次,周长为:2(
1
2
+
1
4
2
)=1+
2
2

第四次,周长为:2(
1
4
+
1
4
2
)=
1+
2
2

第五次,周长为:2(
1
4
+
1
8
2
)=
2+
2
4

第六次,周长为:2(
1
8
+
1
8
2
)=
1+
2
4


∴第5次对开后所得标准纸的周长是:
2+
2
4

第2012次对开后所得标准纸的周长为:
1+
2
21005
点评:此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用,根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键.
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