Question

如图，正方形ABCD中，BE=CF．
（1）求证：△BCE≌△CDF；
（2）求证：CE⊥DF；
（3）若CD=4，且DG²+GE²=18，则AE=______．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCF=∠CGE，
∵在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS）；

（2）∵△DCF≌△CBE，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠DFC=90°，
∴∠CGF=90°；

（3）连接DE，
∵∠CGF=90°，
∴∠EGD=90°，
∴△DGE是直角三角形，
∵DG²+GE²=18，
∴DE²=18，
∵CD=4，
∴AD=CD=4，
∴AE===，
故答案为．
分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，可得DC=BC，∠DCF=∠CGE，结合BE=CF，于是可以证明△BCE≌△CDF；
（2）由△DCF≌△CBE得到∠BCE=∠CDF，结合角角之间的数量关系，证明出CE⊥DF；
（3）连接DE，首先证明△DGE是直角三角形，利用勾股定理结合正方形的性质即可求出AE．
点评：本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及勾股定理的应用，此题难度一般．