Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的一个交点是（-2，0），顶点是（1，3），根据图象回答下列问题：
（1）当x

 

时，y随x的增大而增大；
（2）方程ax²+bx+c=0的两个根为

 

，方程ax²+bx+c=3的根为

 

；
（3）不等式ax²+bx+c＞0的解集为

 

；
（4）若方程ax²+bx+c=k无解，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：（1）由图象得，开口向下，所以，当x＜1时，y随x的增大而增大；
（2）由图可得，函数与x轴的另一个交点为（4，0），即可得出函数的两个根；把（1，3），（-2，0），（4，0）代入函数式，可求出a、b、c的值，解答即可得出方程ax²+bx+c=3的根；
（3）把（2）中a、b、c的值代入，直接解答出即可；
（4）方程ax²+bx+c=k无解，则△=b²-4ac＜0，即可解出k的取值范围；

解答：解：（1）由图象得，当x＜1时，y随x的增大而增大；

（2）由图象可得，函数与x轴的另一个交点为（4，0），
∴方程的两个根为：x₁=-2，x₂=4；
∴把（1，3），（-2，0），（4，0）代入函数式，
得

a+b+c=3 4a-2b+c=0 16a+4b+c=0

，
∴函数关系式为：y=-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

；
解方程-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

=3得，
x₁=1，x₂=-1；

（3）不等式-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

＞0，
得，x²-2x-8＜0，
解得，-2＜x＜4；

（4）方程-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

=k无解，
∴△=b²-4ac=(

2

3

)2-4×（-

1

3

）×（

8

3

-k）＜0，
解得，k＞3；
故答案为（1）＜1；（2）x₁=-2，x₂=4；x₁=1，x₂=-1；
（3）-2＜x＜4；（4）k＞3．

点评：本题考查了二次函数的性质，要熟悉二次函数的性质，并会根据条件求出字母系数的值．