Question

16．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），C的坐标为（0，$\sqrt{3}$）．则经过点D的“蛋圆”切线的解析式是y=-2x-3．

Answer 1

分析 根据圆心坐标及点C的坐标，可求出半径的长度，然后结合图形，可得点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0），利用待定系数法确定抛物线解析式，因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为y=kx-3，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题．

解答 解：∵AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），C的坐标为（0，$\sqrt{3}$），
∴半径CM=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵抛物线过点A、B，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
又∵抛物线过点D（0，-3），
∴-3=a•1•（-3），即a=1，
∴y=x²-2x-3，
∵经过点D的“蛋圆”切线过D（0，-3）点，
∴设它的解析式为y=kx-3，
又∵抛物线y=x²-2x-3与直线y=kx-3相切，
∴x²-2x-3=kx-3，即x²-（2+k）x=0只有一个解，
∴△=（2+k）²-4×0=0，
解得：k=-2，
即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3．
故答案为：y=-2x-3．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，需灵活运用待定系数法建立函数解析式，并利用切线的性质，结合一元二次方程来解决问题，难度一般．