Question

边长为1的正方形ABCD中，E，F为对角线BD上的动点．
（Ⅰ）证明：AE+AF=CE+CF；
（Ⅱ）①求AE+CE的最小值；②求AE+BE+CE的最小值；
（Ⅲ）若∠EAF=45°，DF=2BE，求四边形AECF的面积．

Answer 1

考点：矩形的性质,解一元二次方程-公式法,全等三角形的判定与性质,勾股定理,轴对称-最短路线问题

专题：证明题,动点型

分析：（I）根据全等三角形判定和正方形性质求出△ABE≌△CBE，推出AF=CF，AE=CE即可；
（II）根据两点之间线段最短，求出点E的位置即可；
（III）连接AC交BD于O，设DF=2x，BE=x，由正方形性质和勾股定理求出AO，OB，AC，BD的长，证△AEF∽△DEA，求出AE的平方的值，在Rt△AOE中，根据勾股定理求出AE的平方的值，得出方程，求出x的值，根据面积公式求出即可．

解答：（I）证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
同理：AF=CF．
∴AE+AF=CE+CF．

（Ⅱ）解：①当A，C，E在同一直线上是最短的．
∴AC=AE+EC=

2

．
②如图，连接CM，当E点位于BD与CE的交点处时，AE+BE+CE的值最小．
理由如下：连接MN，△AEB≌△MNB，
∴AE=MN，
∵∠EBN=60°，EB=NB，
∴△BEN是等边三角形．
∴BE=BN．
∴AE+BE+CE=EN+MN+CE=CM=

MF2+CF2

=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=

2 + 6

2

．
 
（Ⅲ）解：连接AC交BD于O，设DF=2x，BE=x，
由勾股定理得：AO=

2

2

=BO=OD，BD=

2

，
即EF=BD-BE-DF=

2

-3x，DE=BD-BE=

2

-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°=∠EAF，
∵∠AEF=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴

AE

DE

=

EF

AE

，
∴AE²=DE•EF=（

2

-x）•（

2

-3x），
在直角三角形AEO中，由勾股定理得：AE²=AO²+EO²=(

2

2

)2+(

2

2

-x)2，
∴（

2

-x）（

2

-3x）=(

2

2

)2+(

2

2

-x)2，
解得：x=

3 2 + 10

4

＞

2

（舍去），x=

3 2 - 10

4

，
∴EF=

2

-3x=

3 10 -5 2

4

∴四边形AECF的面积是

1

2

EF×AC=

1

2

×

3 10 -5 2

4

×

2

=

3 5 -5

4

．

点评：本题综合运用了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，轴对称和最短问题等知识点，此题有一点难度，对学生有较高的要求，第三问得出关于x的方程是解此题的难点．