Question

13．抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3经过A（0，3），B（6，0），点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P的坐标和△PAC的面积．

Answer 1

分析 过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AB的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAB的最大面积及对应的P点坐标．

解答 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AB于点Q；
∵A（0，3），B（6，0），
∴AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；
设P点的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-2m+3），
则Q点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+3）；
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m+3-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m．
∵S_△PAB=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m）×6
=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$；
∴当m=3时，△PAB的面积最大为$\frac{27}{4}$；
此时，P点的坐标为（3，-$\frac{3}{4}$）．

点评 此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、图形面积的求法等知识．