Question

（2013•鄞州区模拟）对于二次函数C：y=

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x²-4x+6和一次函数l：y=-x+6，把y=t（

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x²-4x+6）+（1-t）（-x+6）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中，t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．设二次函数C和一次函数l的两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求点A，B的坐标，并判断这两个点是否在抛物线E上；
（2）二次函数y=-x²+5x+5是二次函数y=

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x²-4x+6和一次函数y=-x+6的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；
（3）若抛物线E与坐标轴的三个交点围成的三角形面积为6，求抛物线E的解析式．

Answer 1

分析：（1）联立二次函数C与一次函数l的解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，解方程再求出相应的y的值，即可得到A、B的坐标，然后把点A、B的坐标代入抛物线E的解析式进行验证即可；
（2）根据抛物线E必过定点A、B，代入二次函数y=-x²+5x+5进行验证即可；
（3）设抛物线E截x轴的线段长为a，先利用三角形的面积求出a的长，再根据点B的坐标求出与x轴的另一交点的坐标，然后代入抛物线求解即可得到t的值，从而得解．

解答：解：（1）联立

y= 1 2 x2-4x+6 y=-x+6

，
消掉y得，

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x²-4x+6=-x+6，
整理得，x²-6x=0，
解得x₁=0，x₂=6，
∴y₁=6，y₂=-6+6=0，
∴点A（0，6），B（6，0），
当x=0时，y=t（

1

2

×0²-4×0+6）+（1-t）（-0+6）=6t+6-6t=6，
当x=6时，y=t（

1

2

×6²-4×6+6）+（1-t）（-6+6）=0，
∴点A、B在抛物线E上；

（2）∵抛物线E一定经过点A、B，
而对于二次函数y=-x²+5x+5，当x=0时，y=5≠6，
∴二次函数y=-x²+5x+5不是二次函数y=

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x²-4x+6和一次函数y=-x+6的一个“再生二次函数”；

（3）由（1）得，抛物线E与x轴的一个交点为B，与y轴的交点为A，
设抛物线E截x轴的线段长为a，则S=

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a×6=6，
解得a=2，
所以，与x轴的另一个交点为（4，0）或（8，0），
点（4，0）代入抛物线E得，y=t（

1

2

×4²-4×4+6）+（1-t）（-4+6）=0，
解得t=

1

2

，
此时y=

1

2

（

1

2

x²-4x+6）+（1-

1

2

）（-x+6）=

1

4

x²-

5

2

x+6，
点（8，0）代入抛物线E得，y=t（

1

2

×8²-4×8+6）+（1-t）（-8+6）=0，
解得t=

1

4

，
此时，y=

1

4

（

1

2

x²-4x+6）+（1-

1

4

）（-x+6）=

1

8

x²-

7

4

x+6．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标，验证点是否在二次函数图象上，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息，理解“再生二次函数”的定义是解题的关键．