Question

（2012•溧水县二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．
（1）当PQ∥AD时，x的值等于

4

；
（2）如图2，线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E，连接EP、EQ，设BE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）在问题（2）中，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x取何值时，S的值最小，最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质可以求出AB=CD及AB∥CD，再有AD∥PQ可以得出四边形ADQP是平行四边形，由其性质就可以得出DQ=CQ，从而求出CQ的值而求出PA的值；
（2）根据中垂线的性质可以得出EP=EQ，由勾股定理就可以表示出EP²=PB²+BE²，EQ²=EC²+CQ²，由AP=x，BE=y，就可以表示出BP=8-x，EC=6-y，从而可以得出y与x之间的函数关系式；
（3）由条件可以得出S=S_梯形BPQC-S_△BPE-S_△ECQ，再分别表示出S_△BPE和S_△ECQ及梯形的面积就可以得出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=8．∠A=∠D=∠C=∠B=90°．
∵PQ∥AD，
∴四边形ADQP是平行四边形，
∴AP=DQ．
∵AP=CQ，
∴DQ=CQ
∴DQ=

1

2

CD=4，
∴AP=4．

（2）如图2，∵EF是线段PQ的垂直平分线，
∴EP=EQ，
在Rt△BPE和Rt△ECQ中，由勾股定理，得
EP²=PB²+BE²，EQ²=EC²+CQ²，
∵AP=x，BE=y，
∴BP=8-x，EC=6-y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=

4x-7

3

；

（3）由题意，得
S=S_梯形BPQC-S_△BPE-S_△ECQ．
∵S△BPE=

1

2

•BE•BP=

1

2

•

4x-7

3

•(8-x)=

-4x2+39x-56

6

，
S△ECQ=

1

2

•CE•CQ=

1

2

•(6-

4x-7

3

)•x=

-4x2+25x

6

，
∴S=S_梯形BPQC-

-4x2+39x-56

6

-

-4x2+25x

6

．
∵AP=CQ，
∴S梯形BPQC=

1

2

S矩形ABCD=24．
∴S=S梯形BPQC-S△BPE-S△ECQ=24-

-4x2+39x-56

6

-

-4x2+25x

6

，
∴S=

4x2-32x+100

3

=

4

3

(x-4)2+12，
∴当x=4时，S有最小值12．
故答案为：4．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，中垂线的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用．解答时灵活运用勾股定理及三角形的面积公式是解答本题的关键