练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点和点,直线经过抛物线的顶点且与轴垂直,垂足为.

    1.求该二次函数的表达式；

    2.设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标随时间

    ≥)的变化规律为.现以线段为直径作.

    ①当点在起始位置点处时,试判断直线与的位置关系,并说明理由；在点运动的过程中,直线与是否始终保持这种位置关系? 请说明你的理由；

    ②若在点开始运动的同时,直线也向上平行移动,且垂足的纵坐标随时间的变化规律为,则当在什么范围内变化时,直线与相交? 此时,若直线被所截得的弦长为,试求的最大值.

     

    【答案】

     

    1.将点和点的坐标代入,得,解得,

    ∴二次函数的表达式为

    2.①当点在点处时,直线与相切,理由如下:

    ∵点,∴圆心的坐标为,∴的半径为,

    又抛物线的顶点坐标为(0,－1),即直线l上所有点的纵坐标均为－1,从而圆心C到直线l的距离为,∴直线与相切. 

    在点运动的过程中,直线与始终保持相切的位置关系,理由如下:

    方法一: 设点,则圆心的坐标为,∴圆心C到直线l的距离为,又∵,∴,则的半径为,

    ∴直线与始终相切.  

    方法二: 设点≥1),则圆心的坐标为,

    ∴的半径为,

    而圆心C到直线l的距离为,

    ∴直线与始终相切

    ②由①知,圆C的半径为.

    又∵圆心C的纵坐标为,直线l上的点的纵坐标为,所以

    (ⅰ)当≥,即≤时,圆心C到直线l的距离为

    ,则由,得,解得,

    ∴此时≤；

    (ⅱ)当＜,即＞时,圆心C到直线l的距离为

    ,则由,得,解得,

    ∴此时＜； 

    综上所述,当时,直线与相交. 

    (说明: 若学生就写成≤或＜,得全分；若学生依据直观,只考虑圆心C在直线l下方的情况,解出后,就得,也给全分)

    ∵当时,圆心C到直线l的距离为,又半径为,

    ∴,  

    ∴当时, 取得最大值为.

    【解析】

    1.所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解．

    2.①由于OP是⊙C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较⊙C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与⊙C的位置关系．

    ②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）．

    在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被⊙C截得的弦最长（为直径），此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解．

     

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    28、在平面直角坐标系中，点P到x轴的距离为8，到y轴的距离为6，且点P在第二象限，则点P坐标为
    （-6，8）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    10、在平面直角坐标系中，点P1（a，-3）与点P2（4，b）关于y轴对称，则a+b=
    -7
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，有A（2，3）、B（3，2）两点．
    （1）请再添加一点C，求出图象经过A、B、C三点的函数关系式．
    （2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为精英家教网坐标原点．A、B两点的横坐标分别是方程x2-4x-12=0的两根，且cos∠DAB=
    		2
    2
    ．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；
    （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    18、在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转的角度为θ，再以原点为位似中心，相似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换．例如，把图中的△ABC先绕着原点O顺时针旋转的角度为90°，再以原点为位似中心，相似比为2得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，2】变换．
    （1）在图中画出所有符合要求的△A1B1C1；
    （2）若△OMN的顶点坐标分别为O（0，0）、M（2，4）、N（6，2），把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O′M′N′，若点M的对应点M′的坐标为（-1，-2），则θ=
    0°（或360°的整数倍）
    ，k=
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案