Question

4．已知如图，四边形ABCD中，BC⊥CD，BA⊥AD，BA=2，AD=20，∠ABC=120°，求BC的长．

Answer 1

分析 作DA和CB的延长线交于E，先由∠ABC=120°得到∠ABE=60°，则∠E=30°，在△ABE中，根据含30度的直角三角形得到EB=2AB=4，AE=$\sqrt{3}$AB=2$\sqrt{3}$，则ED=EA+AD=20+2$\sqrt{3}$，再在Rt△ECD中计算出CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ED=10$\sqrt{3}$+3，然后根据线段的和差关系即可求得BC的长．

解答 解：作DA和CB的延长线交于E，
∵∠ABC=120°
∴∠ABE=60°，
∵BA⊥AD，
∴∠BAE=90°，
∴∠E=30°，
在Rt△ABE中，EB=2AB=4，AE=$\sqrt{3}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴ED=EA+AD=20+2$\sqrt{3}$，
∵BC⊥CD，
∴∠C=90°，
在Rt△ECD中，CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ED=10$\sqrt{3}$+3，
∴BC=CE-BE=10$\sqrt{3}$-1．

点评 此题考查了勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和添加辅助线构成直角三角形是解本题的关键．