Question

如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，且与OA交于点E、与OB交于点F，连接CE、CF．
（1）AB与⊙O相切吗，为什么？
（2）若∠AOB=∠ECF，试判断四边形OECF的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）AB与⊙O相切．理由如下：
连结OC，
∵OA=OB，C是边AB的中点，
∴OC⊥AB，
而OC为⊙O的半径，
∴AB与⊙O相切于C；

（2）四边形OECF为菱形．理由如下：
∵OA=OB，C是边AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
∵在△EOC和△FOC中，
，
∴△EOC≌△FOC（SAS），
∴CE=CF，∠ECO=∠FCO，
∵∠AOC=∠BOC，∠ECO=∠FCO，
∴∠AOB=2∠EOC，∠ECF=2∠ECO，
又∵∠AOB=∠ECF，
∴∠EOC=∠ECO，
∴CE=OE，
∴CE=OE=OF=CF，
∴四边形OECF为菱形．
分析：（1）根据等腰三角形的性质由OA=OB，C是边AB的中点得到OC⊥AB，然后根据切线的判定方法即可得到AB与⊙O相切；
（2）根据等腰三角形的性质得∠AOC=∠BOC，再利用“SAS”可判断△EOC≌△FOC，则CE=CF，∠ECO=∠FCO，于是∠AOB=2∠EOC，∠ECF=2∠ECO，而∠AOB=∠ECF，所以∠EOC=∠ECO，则CE=OE，得到CE=OE=OF=CF，然后利用菱形的判定方法得到四边形OECF为菱形．
点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了菱形的判定方法．