Question

如图，AP是∠MAN的平分线，B是射线AN上的一点，以AB为直径作⊙O交AP于点C，过点C作CD⊥AM于点D．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=6，AD=10，求CD的长．

Answer 1

解：（1）直线DC与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AP平分∠MAN，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，且O点为⊙O半径，
∴直线DC与⊙O相切；

（2）作CE⊥AB于E，如图，
∵AP平分∠MAN，CD⊥AM，
∴CD=CE，
在Rt△ADC和Rt△AEC中
，
∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL），
∴AE=AD=10，
∴OE=AE-OA=4，
在Rt△OCE中，OC=6，OE=4，
∴CE==2，
∴CD=2．
分析：（1）连接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，由AP平分∠MAN得∠DAC=∠CAO，则∠DAC=∠OCA，根据平行线的判定得到AD∥OC，而AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到直线DC与⊙O相切；
（2）作CE⊥AB于E，先根据角平分线性质得CD=CE，在根据“HL”判断Rt△ADC≌Rt△AEC，得到AE=AD=10，则OE=4，在Rt△OCE中根据勾股定理计算出CE即可．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和角平分线性质．