Question

为保卫祖国的南海海疆，我人民解放军海军在相距30海里的A、B两地设立观测站（海岸线是过A、B的直线）．按国际惯例，海岸线以外12海里范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海．某日，观测员发现一外国船只行驶至P处，在A观测站测得∠BAP=60°，同时在B观测站测得∠ABP=45°．问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？（）

Answer 1

解：过P作PH⊥AB于H，如图所示，
设AH=x海里，
在Rt△APH中，∠BAP=60°，
∴PH=AH•tan60°=x（海里），
∵∠PBA=45°，∠PHB=90°，
∴∠HPB=45°，即△PBH为等腰直角三角形，
∴HB=HP=x（海里），
又∵AB=30海里，
∴x+=30，
解得：x==15（-1），
∴PH=x=15（-1）=45-15≈19.2（海里）＞12（海里），
则此时不需要向该船发出警告．
分析：过P作PH垂直于AB，交AB于H点，设PH=x海里，在直角三角形APH中，由∠BAP=60°，利用正切函数定义表示出AH，再由∠ABP=45°，得到三角形PBH为等腰直角三角形，可得出BH=PH=x海里，由AH+HB表示出AB，再由AB为30海里列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，与12海里比较，即可判断出是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海．
点评：此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，涉及的知识有：锐角三角形函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是本题的突破点．