Question

如果关于x的方程kx²-2（k+2）x+k+5=0没有实数根，那么y关于x的函数y=kx²-2（k+2）x+k的图象与x轴是否有交点？如果有，有几个？请说明理由．

Answer 1

解：∵关于x的方程kx²-2（k+2）x+k+5=0没有实数根，
∴△=[-2（k+2）]²-4k（k+5）＜0，
解得，k＞4，
①当k=0时，函数为y=-4x，与x轴交于（0，0）；
②当k≠0时，y=kx²-2（k+2）x+k中，△=[-2（k+2）]²-4k²=16k+16，
∵k＞4，
∴△=[-2（k+2）]²-4k²=16k+16＞0，
∴二次函数与x轴有两个交点．
分析：根据kx²-2（k+2）x+k+5=0没有实数根，判断出函数为二次函数，利用根的判别式得到k的取值范围，再将函数y=kx²-2（k+2）x+k分一次函数和二次函数两种情况讨论．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉判别式和二次函数与x轴交点的关系是解题的关键．