Question

已知，点A（10，0）B（6，8），点P为线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）

（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）求当⊙P与OB相切时⊙P的半径；
（3）在（2）的情况下，设（2）中⊙P与OB的切点为E，连接PB交CD于点F（如图2）
①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF=45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图1，连接PC，过B作BN⊥x轴于点N．欲证CD是⊙P的切线，只需证明PC⊥CD即可；
（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．根据切线的性质知PE⊥OE，所以在Rt△OPE和Rt△OBN中，利用∠BON的正弦函数的定义列出关于r的比例式

r

10-r

=

4

5

，由此可以求得r的值；
（3）①如图3，由正方形PCDE的四条边相等知DE=DC=r，则BD=OB-OE-DE．然后将其代入相似三角形（△BDF∽△PCF）的对应边成比例的比例式

BD

PC

=

DF

CF

中，从而求得CF的值；
②假设在线段DE上是否存在点G使∠GPF=45°．如图4所示，在线段DE上截取EQ=EG．通过相似三角形：△GQP∽△BDP
，的对应边成比例求得BD=

20

9

，然后将相关线段的长度代入该比例式来求线段EG的长度．

解答：解：（1）连接PC，过B作BN⊥x轴于点N．
∵PC=PA（⊙P的半径），
∴∠1=∠2（等边对等角）．
∵A（10，0），B（6，8），
∴OA=10，BN=8，ON=6，
∴在Rt△OBN中，OB=

ON2+BN2

=10（勾股定理），
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠1（等边对等角），
∴∠OBA=∠2（等量代换），
∴PC∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∵CD⊥OB，
∴CD⊥PC，
∴CD为⊙P的切线；

（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．
∵⊙P与OB相切于点E，则OB⊥PE，OA=10，
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP=

PE

OP

=

r

10-r

，
在Rt△OBN中，sin∠BON=

BN

OB

=

8

10

=

4

5

，
∴

r

10-r

=

4

5

，
解得：r=

40

9

；

（3）①如图3，∵由（2）知r=

40

9

，
∴在Rt△OPE中，OE=

OP2-PE2

=

(10- 40 9 )2-( 40 9 )2

=

10

3

（勾股定理），
∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°，
∴四边形PCDE是矩形．
又∵PE=PC（⊙O的半径），
∴矩形PCDE是正方形，
∴DE=DC=r=

40

9

，
∴BD=OB-OE-DE=10-

10

3

-

40

9

=

20

9

．
∵∠BFD=∠PFC，∠PEO=∠PCF=90°，
∴△BDF∽△PCF，
∴

BD

PC

=

DF

CF

，即

20 9

40 9

=

40 9 -CF

CF

，
解得，CF=

80

27

，即CF的长度是

80

27

；

②假设在线段DE上是否存在点G使∠GPF=45°．
如图4所示，在线段DE上截取EQ=EG．
∵OB⊥PE，
∴∠GQE=45°，
∴∠GQP=135°．
∵四边形PCDE是正方形，
∴PD=

2

PC=

40 2

9

，∠EPD=∠PDC=45°，
∴∠2+∠3=45°．
∵∠FPG=45°，
∴∠1+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BDP=∠BDC+∠PDC=90°+45°=135°
∴∠GQP=∠BDP
∴△GQP∽△BDP
∴

GQ

BD

=

PQ

PD

∵OE=

10

3

，DE=

40

9

，OB=10，
∴BD=OB-ED-OE=

20

9

．
设EG=a，则GQ=

2

a，PQ=PE-EQ=

40

9

-a，
∴

2 a

20 9

=

40 9 -a

40 2 9

，
解得，a=

8

9

，即EG的长度是

8

9

．

点评：本题考查了圆的综合题．解题时，注意“数学结合”数学思想的应用．在证明（3）②时，巧妙的运用了旋转的性质，切线的性质求得EG的长度．