Question

16．如图四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC²=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若 AD=8，AB=12，求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AC平分∠DAB，得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形ADC与三角形ACB相似，由相似得比例即可得证；
（2）由E为AB中点，三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AE=CE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
（3）由CE与AD平行，得到两对内错角相等，进而得到三角形ECF与三角形ADF相似，由相似得比例求出AF的长，即可确定出所求式子的值．

解答 （1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
则AC²=AB•AD；
（2）证明：∵CE为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CE=AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠ACE=∠DAC，
∴CE∥AD；
（3）解：∵AC²=AB•AD，AB=12，AD=8，
∴AC=4$\sqrt{6}$，CE=6，
∵CE∥AD，
∴∠ECF=∠FAD，∠CEF=∠FDA，
∴△ECF∽△DAF，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{AC-CF}$，即$\frac{6}{8}$=$\frac{CF}{4\sqrt{6}-CF}$，
解得：CF=$\frac{12\sqrt{6}}{7}$，
∴AF=AC-CF=4$\sqrt{6}$-$\frac{12\sqrt{6}}{7}$=$\frac{16\sqrt{6}}{7}$，
则$\frac{AC}{AF}$=$\frac{4\sqrt{6}}{\frac{16\sqrt{6}}{7}}$=$\frac{7}{4}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形的中线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．