Question

从一个等边三角形（如图①）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图②）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18个尖角的图形（如图③）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图④）．如此继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线．

如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”，例如，第1次生长后，得图②，每个小等边三角形的边长为

1

3

a，所形成的图形的周长为4a．
请填写下表：（用含a的代数式表示）

	第1次 生长后	第2次 生长后	第3次 生长后	…	第n次 生长后
每个小等边 三角形的边长	1 3 a			…
所形成的 图形的周长	4a			…

Answer 1

分析：找到相邻两个图形的周长之间的关系：后一个图形在前一个的基础上多了它的

1

3

，以此类推，即可得到第4次变换后得到的图形的周长．边长变为原来的

1

3

．

解答：解：仔细观察规律发现：每生长一次，边长都变为原来的

1

3

，
即：第一次生长后，边长变为：

1

3

a；
第二次生长后，边长变为

1

3

×

1

3

a=

1

9

a；
第三次生长后，边长变为：

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

27

a
…
第三次生长后，边长变为：(

1

3

)na；
解：第一次生长后，周长：3a×

4

3

=4a
第二次生长后，周长：3a×

4

3

×

4

3

，
第三次生长后，周长：3a×

4

3

×

4

3

×

4

3

，
…
第n次生长后，周长：3a（

4

3

）ⁿ．
故答案为：

	第1次 生长后	第2次 生长后	第3次 生长后	…	第n次 生长后
每个小等边 三角形的边长	1 3 a	1 9 a	1 27 a	…	( 1 3 )na
所形成的 图形的周长	4a	3a( 4 3 )2	3a（ 4 3 ）3	…	3a（ 4 3 ）n

点评：本题主要考查了图形的变化类问题，找到后一个图形的周长是前一个图形周长的

4

3

，是解答本题的关键．