Question

点D是不等边三角形ABC的边AB上的一点，过点D作一条直线，使它与另一边相交截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作几条？为什么？

Answer 1

解：这样的直线可以作4条．理由是：
（1）若该直线与AC相交，
①过点D作DE∥BC，交AC于点E，则∠AED=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
②过点D作直线DF交AC于点F，使得∠ADF=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△AFD∽△ABC．
（2）同理，若该直线与BC相交，也可作①DG∥AC，②∠BDH=∠C，得到△BDG∽△BAC，△BDH∽△BCA．
∴这样的直线可以作出4条．
分析：这样的直线可以作4条，根据平行线分线段成比例定理推出相似，根据两角分别相等得到两三角形相似．
点评：本题主要考查对相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识点的理解和掌握，能根据题意画出图形是解此题的关键．