Question

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说是函数的零点．请根据零点的定义解决下列问题：

已知函数（m为常数）．

（1）当m=0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．

Answer 1

解：(1)当时，，    -------1分 

令，即，解得， 

∴当时，该函数的零点为和－. 

（2）令，即，       

△=(－2m)²－4[－2(m+3)] =4m²+8m+24△=4(m+1)²+20                             

∵无论m为何值，4(m+1)²≥0，4(m+1)²+20＞0， 即△＞0                                    

∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根，

即该函数总有两个零点.        

（3）依题意有，，，   

由得=－，即=－，

解得m＝1.                                             

因此函数解析式为y=x²－2x－8，

令y=0，解得x₁=－2，x₂=4，                       

∴A（－2，0），B（4，0），                        

作点B关于直线的对称点B´，连结AB´，  

则AB´与直线的交点就是满足条件的M点.                 

易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C(10，0)，D(0，－10)，

连结CB´，则∠BCD=45°，∴BC=CB´=6，∠B´CD=∠BCD=45°，

∴∠BCB´=90°. 即B´（10，-6）.                    ………7分

设直线AB´的解析式为，则

，解得，.

∴直线AB´的解析式为，

即AM的解析式为.