Question

10．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
（1）用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M（不写作法，只保留作图痕迹）；
（2）若AB=2，求EM的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂线的尺规作图方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M；
（2）先根据等边三角形以及等腰三角形的性质，求得BE=3，再根据等腰三角形三线合一，即可得出BE的长．

解答 （1）如图所示，DM即为所求；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=2，∠ABC=∠ACB=60°，
∵点D是AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵CD=CE=1，
∴∠CDE=∠E，BE=3，
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠E=30°．
∴DB=DE．
∵DM⊥BE，
∴ME=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质以及基本作图，解题时注意：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．