Question

如图，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=4，AD=BC，E是AD的中点，EB⊥BC，则梯形ABCD的面积是________．

Answer 1

3
分析：先延长CD交BE延长线上点G，过点A作AM⊥DC，过点B作BH⊥DC，根据AB∥CD，E是AD的中点得出△AEB≌△DEG，再根据AB=2，得出DG和GC的长，再根据ABCD是等腰梯形，AM⊥DC，BH⊥DC，得出DM=HC的值，再根据EB⊥BC，BH⊥DC得出△BGC∽△HBC，从而得出BC和BG的值，即可求出S_△BGC的值，再根据△AEB≌△DEG，即可得出梯形ABCD的面积．
解答：解：延长CD交BE延长线上点G，过点A作AM⊥DC，过点B作BH⊥DC，
∵AB∥CD，
∴∠GDE=∠EAB，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵∠GED=∠AEB，
∴△AEB≌△DEG，
∵AB=2，
∴DG=2，
∴GC=CD+GD=4+2=6，
∵AM⊥DC，BH⊥DC，AD=BC，
∴DM=HC=1，
∵EB⊥BC，BH⊥DC，
∴∠EBC=∠BHC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△BGC∽△HBC，
∴=，
∴BC²=GC•HC，
∴BC==，
∴BG²=GC²-BC²，
∴BG==，
∴S_△BGC=•BC•BG=××=3，
∵△AEB≌△DEG，
∴梯形ABCD与三角形BGC的面积相等，
∴S_梯形ABCD=3；
故答案为：3．
点评：此题考查了等腰梯形的性质，本题通过作辅助线，把等腰梯形ABCD的面积转化为三角形BGC的面积是解题的关键．