Question

如图所示．以O为圆心，半径为2的圆与反比例函数y=

k

x

（x＞O）的图象交于A、B两点，若

AB

的长度为

1

3

π，则k的值是

3

．

Answer 1

分析：连接OA、OB，由弧长公式求出∠AOB的度数，过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥y轴，由于点AB均在反比例函数y=

k

x

的图象上，所以BD×OD=AC×OC=k，再由OB=OA可知，BD=AC，OD=OC，故△AOC≌△BOD，由此可求出∠AOC的度数，再设A（a，b），根据锐角三角函数的定义即可求出a、b的值．

解答：解：连接OA、OB，
∵

AB

的长度为

1

3

π，OA=OB=2，
∴

nπ×2

180

=

1

3

π，解得n=30°，即∠AOB=30°，
过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥y轴，
∵点AB均在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴BD×OD=AC×OC=k，
∵OB=OA，
∴BD=AC，OD=OC，
∴△AOC≌△BOD，
∴∠AOC=

90°-∠AOB

2

=

90°-30°

2

=30°，
设A（a，b），则OC=OA•cos30°=2×

3

2

=

3

，AC=b=OA×sin30°=2×

1

2

=1，
∴k=ab=

3

×1=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线构造出直角三角形，再根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可．