Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），顶点M的纵坐标为-4，若x₁、x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-7=0的两个根，且x²₁+x²₂=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-7=0的两个根，
∴x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m²-7．
又∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
∴[2（m-1）]²-2（m²-7）=10，
即m²-4m+4=0．
解得：m₁=m₂=2．
将m=2代入方程x²-2（m-1）x+m²-7=0，
得：x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）．

（2）因为抛物线与x轴的交点为A（-1，0）、B（3，0），由对称性可知，顶点M的横坐标为1，则顶点M的坐标为（1，-4）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
在y=x²-2x-3中，
令x=0，得y=-3．
∴点C的坐标为（0，-3）．

（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，
则AO=OD=1，DB=2，OC=3，
DM=4，AB=4．
∴S_{四边形ACMB}=S_△ACO+S_梯形OCMD+S_△DMB
=•AO•CO+（CO+MD）+DB•MD
=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．
设P（x₀，y₀）为抛物线上一点，
则S_△PAB=AB•|y₀|．
若S_△PAB=2S_{四边形ACMB}，
则•AB•|y₀|=18，
∴丨y₀丨=9，y₀=±9．
将y₀=9代入y=x²-2x-3中，得x²-2x-3=9，
即x²-2x-12=0，
解得：x₁=1-，x₂=1+．
将y₀=-9代入y=x²-2x-3中，得：x²-2x-3=-9，
即x²-2x+6=0．
∵△=（-2）²-4×1×6=-20＜0，
∴此方程无实数根．
∴符合条件的点P有两个：P₁（1-，9），P₂（1+，9）．
分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系，建立关于m的方程，然后解答即可求出m的值；
（2）根据A、B的横坐标，求出M的横坐标，从而得到M的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，令x=0，即可得到y=-3，从而得到函数解析式．
（3）假设存在点P，根据S_{四边形ACMB}=S_△ACO+S_梯形OCMD+S_△DMB，求出四边形的面积，根据S_△PAB=2S_{四边形ACMB}，建立关于m的解析式，据此解答即可．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点求法和三角形的面积求法．在求存在性问题时，要假设该点存在，然后进行计算，若得出矛盾，则不存在，否则，存在．