Question

△ABC的内切圆切边AB于点P，内切圆半径r=21，且AP=23，PB=27，则△ABC的周长是________．

Answer 1

345
分析：设BC、AC边上的切点为Q、R，AB边上的高为CD，设CQ=x，AD=y，高CD=z，则BD=50-y，AC=23+x，BC=27+x，在直角三角形ADC中，由勾股定理：得y²+z²=（23+x）²，在直角三角形BDC中，由勾股定理：（50-y）²+z²=（27+x）²，由三角形面积公式得：[2（23+27）+2x]×21=50z，三个未知数，三个方程，可以求解．
解答：解：如图，
设BC、AC边上的切点为Q、R，AB边上的高为CD，
设CQ=x，AD=y，高CD=z，则BD=50-y，AC=23+x，BC=27+x，
在直角三角形ADC中，由勾股定理：得y²+z²=（23+x）²，①
在直角三角形BDC中，由勾股定理：（50-y）²+z²=（27+x）²，②
由三角形面积公式得：[23+27+23+x+27+x]×21=×50z，③
由①得x²-y²-z²+46x+529=0④，
由②得x²-y²-z²+54x+100y+729-2500=0④，
由③得42x-50z+2100=0⑥，
整理得x=，
∴△ABC的周长为：2（23+27）+2x=100+245=345，
故答案为345．
点评：本题考查了三角形的内切圆和内心，注：三角形的面积公式：S=p•r，其中p表示三角形的周长，r表示内切圆的半径．