Question

（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．

（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．

Answer 1

解：（1）∠BDC=90°-∠A．

    理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．

    ∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．

    ∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线，

    ∴∠CBD=∠EBC，∠BCD=∠FCB．

    ∴∠CBD+∠BCD=（∠EBC+∠FCB）=×（180°+∠A）

    =90°+∠A．

    在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+∠A）=90°-∠A．

    （2）∠BDC=∠A．

    理由：∵∠ACE是△ABC的外角，

    ∴∠ACE=∠A+∠ABC，

    ∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，

    ∴∠DCE=∠ACE=∠A+∠ABC，∠DBC=∠ABC．

    ∵∠DCE是△BCD的外角，

    ∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=∠A+∠ABC-∠ABC=∠A．