Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.
活动一：
如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒.
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：         .(填“能”或“不能”)
（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.
①=_________度；
②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…）求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）.

 

 
活动二：
如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁.
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，₁ =_________，₂=________，₃=________；（用含的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

Answer 1

解:（１）能．                             ………………1分
（２）① 22.5°.                          ………………2分
②方法一
∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴A₁A₃=，AA₃=.
又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.
同理：A₃A₄∥A₅A₆，
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=，            ………………3分
a₃=AA₃+ A₃A₅=a₂+ A₃A₅.          
∵A₃A₅=a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=. ………………4分
方法二
∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴A₁A₃=，AA₃=.
又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.
同理：A₃A₄∥A₅A₆.
∴∠A₂A₃A₄=∠A₄A₅A₆=90°，∠A₂A₄A₃=∠A₄ A₆A₅，
∴△A₂A₃A₄∽△A₄A₅A₆，
∴，∴a₃=.   ………………4分
                    ………………5分
（３）                          ………………6分
                           ………………7分
                           ………………8分
（４）由题意得:
∴.                 ………………10分

解析