Question

19．如图，在?ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，AF与EH交于点M，FG与CH交于点N．
（1）求证：四边形MFNH为平行四边形；
（2）求证：△AMH≌△CNF．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的性质得出EH∥FG，进而得出AH$\stackrel{∥}{=}$FC，再求出EH∥FG，即可得出答案；
（2）利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠AMH=∠CNF，进而利用AAS得出即可．

解答 证明：（1）连接BD，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD．
同理FG∥BD．
∴EH∥FG，
在?ABCD中，
∴AD$\stackrel{∥}{=}$BC，
∵H为AD的中点AH=$\frac{1}{2}$AD，
∵F为BC的中点FC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AH$\stackrel{∥}{=}$FC，
∴四边形AFCH为平行四边形，
∴AF∥CH，
又∵EH∥FG
∴四边形MFNH为平行四边形；

（2）∵四边形AFCH为平行四边形
∴∠FAD=∠HCB，
∵EH∥FG，
∴∠AMH=∠AFN，
∵AF∥CH，
∴∠AFN=∠CNF，
∴∠AMH=∠CNF，
在△AMH和△CNF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AMH=∠CNF}\\{∠MAH=∠NCF}\\{AH=FC}\end{array}\right.$
∴△AMH≌△CNF（AAS）．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．