Question

已知：△ABC中，AB＜BC，AC的中点为M，MN⊥AC交∠ABC的角平分线于N．
（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：BA+BC=

3

BN；
（2）如图2，若∠ABC=120°，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．

Answer 1

分析：（1）连接AN、CN，过点N作NE⊥AB于点E，NF⊥BC于点F，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AN=NC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NF，然后利用“HL”证明Rt△ANE和Rt△CNF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后求出BA+BC=2BF，在Rt△BNF中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得证；
（2）连接AN、CN，在BC上截取BE=AB，然后利用“边角边”证明△ABN和△ABE全等，根据全等三角形对应边相等可得NA=NE，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得NA=NC，从而得到NE=NC，过点N作NF⊥BC于点F，根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=

1

2

EC，然后表示出BF，在Rt△BFN中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得解．

解答： （1）证明：连接AN、CN，过点N作NE⊥AB于点E，NF⊥BC于点F，
∵BN是∠ABC的角平分线，
∴NE=NF，
∵AC的中点为M，MN⊥AC，
∴AN=NC，
在Rt△ANE和Rt△CNF中，

BN=BN NE=NF

，
∴Rt△ANE≌Rt△CNF（HL），
∴AE=CF，
∴BA+BC=BE-AE+BF+CF=2BF，
∵∠ABC=60°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=

1

2

×60°=30°，
∴cos30°=

BF

BN

=

1 2 (BA+BC)

BN

=

3

2

，
∴BA+BC=

3

BN；

（2）连接AN、CN，在BC上截取BE=AB，
∵BN是∠ABC的角平分线，
∴∠ABN=∠EBN，
在△ABN和△ABE中，

BN=BN ∠ABN=∠EBN BE=AB

，
∴△ABN≌△ABE（SAS），
∴NA=NE，
∵AC的中点为M，MN⊥AC，
∴NA=NC，
∴NE=NC，
过点N作NF⊥BC于点F，
则EF=

1

2

EC=

1

2

（BC-BA），
∴BF=BE+EF=BA+

1

2

（BC-BA）=

1

2

（BC+BA），
∵∠ABC=120°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=

1

2

×120°=60°，
∴cos60°=

BF

BN

=

1 2 (BC+BA)

BN

=

1

2

，
∴BA+BC=BN．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质以及锐角三角函数，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．