Question

如图，E是?ABCD内一点，已知DE⊥AD，∠CBE=∠CDE，∠BCE=45°，延长CE交AD、BA的延长线于F、G，连接BF．下列结论：

①BE=CD；②四边形BCDF为等腰梯形；③BC-DE=CE；④EF•EG=2AB²．

其中结论正确的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：根据平行四边形的性质得出∠ABC=∠ADC，即可求出∠ABE=∠ADE，延长DE交BC于N，过E作EM⊥CF交BC于M，根据AAS证△BME≌△DEC，推出BE=CD即可；连接DM，求出∠BME=∠DEM，证△BME≌△DEM，推出∠CBE=∠EDM=∠CDE，BE=DM，求出MD=BF，求出BF=CD，根据等腰梯形的判定推出即可；根据△BME≌△△DEC，推出BM=DE，EM=DE，求出DF=DE=BM，推出CM=AF，在Rt△MEC中，由勾股定理求出CM=CE即可．
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠CBE=∠CDE，
∴∠ABC-∠CBE=∠ADC-∠CDE，
∴∠ABE=∠ADE，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴BE⊥AB，∴①正确；
延长DE交BC于N，过E作EM⊥CF交BC于M，
则∠MEC=90°，
∵∠BCE=45°，
∴∠EMC=45°=∠BCE，
∴CE=ME，∠BME=∠BCE+∠MEC=45°+90°=135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴NC∥AD，
∵DE⊥AD，
∴DN⊥BC，
∴∠DNC=90°，
∴∠CED=90°+45°=135°，
∴∠BME=∠DEC=135°，
在△BME和△DEC中

∴△BME≌△DEC（AAS），
∴BE=CD，∴②正确；

连接DM，
∵∠BME=∠CED=135°，∠MEC=90°，
∴∠MED=360°-90°-135°=135°，
∴∠BME=∠DEM，
在△BME和△DEM中

∴△BME≌△DEM，
∴∠CBE=∠EDM=∠CDE，BE=DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∵CM=AF，
∴BM=DF，
∴四边形BMDF是平行四边形，
∴MD=BF，
∵BE=DM，BE=CD，
∴BF=CD，
∵DF∥BC，
∴四边形BCDF是等腰梯形，∴③正确；
∵△BME≌△△DEC，
∴BM=DE，EM=DE，
∵∠FDE=90°，∠FED=180°-135°=45°，
∴∠DFE=∠FED=45°，
∴DF=DE=BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴CM=AF，
在Rt△MEC中，∠MEC=90°，CE=EM，由勾股定理得：CM=CE，
即AF=CE，∴④正确；
故选D．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰梯形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线性质等知识点的应用，难度偏大，对学生提出更高的要求．