Question

（2012•闵行区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E，AE=16，sin∠B=

4

5

．求：
（1）BC的长；
（2）求∠ADE的正切值．

Answer 1

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，利用角平分线的性质，可得AC=AE=16，又由sin∠B=

4

5

，即可求得AB的长，然后利用勾股定理，即可求得BC的长；
（2）易证得△DBE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，可求得DE的长，继而可求得∠ADE的正切值．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AC⊥CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴∠ADC=∠ADE，
∴AC=AE=16，
在Rt△ABC中，sin∠B=

AC

AB

=

4

5

，
∴AB=20，
∴BC=

AB2-BC2

=

202-162

=12．

（2）∵AB=20，AE=16，
∴BE=4．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠DEB=∠ACB=90°．
又∵∠DBE=∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴

DE

AC

=

BE

BC

．
∴

DE

16

=

4

12

．
解得：DE=

16

3

，
Rt△ADE中，tan∠ADE=

AE

DE

=

16

16 3

=3．
∴tan∠ADE=3．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．