Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点DDF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD为平行四边形；
（2）填空：
①当t=10时，四边形AEFD为菱形；
②当t=7.5时，四边形DEBF为矩形．

Answer 1

分析 （1）根据时间和速度表示出AE和CD的长，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t，则AE=DF，再证明，AE∥DF即可解决问题．
（2）①根据（1）的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形，如果四边形AEFD能够成为菱形，则必有邻边相等，则AE=AD，列方程求出即可；
②由题意得出∠ADE=∠C=30°，由直角三角形的性质得出AD=2AE，得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：由题意得：AE=2t，CD=4t，
∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°，
∵∠C=90°-60°=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4t=2t，
∴AE=DF；
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=∠B=90°，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）解：①∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF∥AB，
由（1）得：DF=AE=2t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，?AEFD是菱形，
故答案为：10；

②若四边形DEBF为矩形．则DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE，
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t=60-4t，
∴t=7.5；
故答案为：7.5．

点评 本题是四边形综合题目，考查了直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形的判定是解题的关键．