Question

如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）²+（-x）²=，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．
解答：
过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线y=x+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
则DN=x+3，OD=-x，
y=x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°==，
∴ON=，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND²+DO²=ON²，
即（x+3）²+（-x）²=，
解得：x₁=-，x₂=，
∵N在第二象限，
∴x只能是-，
x+3=，
即ND=，OD=，
tan∠AON==．
故选A．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．